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二 19 / lemywong

《考研数学焦点概念与性质》 – 前言

提高全國碩士研究生數學入學考試成績是考生的普遍願望,正確把握複習方向是提高成績的關鍵。問題的焦點在哪裡?我們以2005年全國碩士研究生入學統一考試的統計資來說明:

  数学一 数学二 数学三 数学四
0.7以上 2.7% 2.7% 18.7% 16%
0.3~0.7 94.7% 85.3% 64% 75.3%
0.3以下 2.7% 12% 17.3% 8.7%
平均分 68.2 69.69 75.20 78.89
难度系数 0.45 0.465 0.501

0.526

  这组数据提出了一个值得人们思考的问题:数学一的试题中等难度的题目占94.6\%,而难度系数仅为0.45,为什么平均分那么低?怎样才能提高考试成绩?
  通过对研究生入学考试试卷的分析,作者认为考生失分的首要因素是对基本概念和基本性质不清楚,特别是填空题与选择题的分偏低,与命题的期望值相差较大,针对这个问题,作者分析了近十年研究生入学考试的数学试题情况,针对概念与性质类的试题对考生的影响做了研究,得出以下结论:
  考生提高考试成绩的首要环节是要理解基本概念,明确概念的要素,认清其实质;理解基本性质,明确性质的基本特征。
  为此作者针对数学中的基本概念、基本性质编写了一些是非题,并说明了命题正确与否,也给出了相关分析或反例。在一些题目中又加了说明,列举了近年来考试中的相关试题,指出这些试题的求解关键是明确概念或性质的那些特征,或没有正确使用性质而导致的错误等。

 

  例1 (97303) (注:97303表示1997年研究生入学考试数学三试题,分值为3,其余类推)  
  若函数f(x)=\frac{1}{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}\int_{0}^{1}f(x)d x,则\int_{0}^{1}f(x)d x =\underline{\hbox to 20mm{}}
  本题考查的知识点为定积分的概念与几何意义。
  此题求解的关键是明确:如果f(x)[a,b]上可积分,则定积分\int_{a}^{b}f(x)dx表示一个确定的值。
  因此只需令\int_{a}^{b}f(x)d x=A,则所给表达式可转换为f(x)=\frac{1}{1+x^2}+A\sqrt{1-x^2},将其两端在积分区间[0,1]上积分,可得:
                     A=\int_{0}^{1}f(x)d x=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}+A\sqrt{1-x^2}
  积分后解出A,可得f(x)表达式。
  如果又能明确定积分的几何意义,注意到被积函数\sqrt{1-x^2}=y可以化为x^2+y^2=1,因此y = \sqrt{1-x^2}表示圆心在原点的半径为1的上半圆周,可知\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx表示半径为1的1/4圆的面积,\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4},则问题易解。
  但本题难度系数仅有0.29,表明绝大多数考生对定积分的概念与几何意义理解不够深刻,不能运用性质求解问题。

  例2 (00103) \int_{0}^{1}\sqrt{2x-x^2}d x=\underline{\hbox to 20mm{}}
  此题可以利用定积分换元法求解,但是由于是填空题,如果注意到y=\sqrt{2x-x^2}可表示为
                     (x-1)^2+y^2=1
  可以知道\int_{0}^{1}\sqrt{2x-x^2}d x表示半径为1的1/4圆的面积,易知积分值为\frac{\pi}{4}
  难度系数也仅为0.64

  例3 (01103) 设f(0)=0,则f(x)在点x=0可导的充分必要条件为
  A. \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h^2}f(1-\cos h)存在
  B. \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}f(1-e^h)存在
  C. \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}f(1-\sin h)存在
  D. \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(2h)-f(h)]存在
  本题考查的知识点为函数在一点处的定义,左导数、右导数与导数的关系,有界变量与无穷小量乘积的性质。
  本题难度系数为0.25.

例4 (01103) 设函数f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且
  A. dz|_{(0,0)} =3dx+dy
  B. 曲面z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为(3,1,1)
  C. 曲线\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}z=f(x,y)\\y=0\end{array} \right.在点(0,0,f(0,0))的切向量为(1,0,3)
  D. 曲线\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}z=f(x,y)\\y=0\end{array} \right.在点(0,0,f(0,0))的切向量为(3,0,1)
  这个试题包含了三个性质:
  函数f(x,y)在点M_0 (x_0 ,y_0 )存在偏导数,并不一定能保证z=f(x,y)在点M_0 (x_0 ,y_0 )处可微分。因此A不正确。
  函数f(x,y)在点M_0 (x_0 ,y_0 )处不可微分,则曲面z=f(x,y)在点(x_0 ,y_0 ,f(x_0 ,y_0 ))可能不存在切平面,可知B不正确。
  一元函数z=f(x)在点x_o处可导,则曲线z=f(x)在点(x_0 ,f(x_0 ))必存在切线,且切线的斜率为切向量为,因此C正确,D不正确。

  考生对于多元函数微分概念掌握不好,忘记了微分的必要条件为函数在该点存在偏导数;微分的充分条件是函数在该点有连续偏导数。
  本题难度系数为0.35。

例5 (99103)  设f(x)是连续函数,F(x)f(x)的一个原函数,则
  A.当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数。
  B.当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数。
  C.当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数。
  D.当f(x)是单调函数时,F(x)必是单调函数。
  本题考查的知识点为原函数的概念及可变上限积分的函数表示方法、函数的奇偶性、周期性、单调性概念。
  本题难度系数为0.19

  例6(02103) 考虑二元函数f(x,y)的下面4个性质:
  ①f(x,y)(x_0,y_0)处连续;
  ②f(x,y)在点(x_0,y_0)处两个偏导数连续;
  ③f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微;
  ④f(x,y)在点(x_0,y_0)处的两个偏导数存在;
  若用“P \Rightarrow Q表示可由性质P推出性质Q,则有
  A.\textcircled{2} \Rightarrow \textcircled{3} \Rightarrow \textcircled{1}
  B.\textcircled{3} \Rightarrow \textcircled{2} \Rightarrow \textcircled{1}
  C.\textcircled{3} \Rightarrow \textcircled{4} \Rightarrow \textcircled{1}
  D.\textcircled{3} \Rightarrow \textcircled{1} \Rightarrow \textcircled{4}
  本题考查的知识点为二元函数的连续性、偏导数、可微分之间的关系。
  本题难度系数仅为0.31。

  例7(03103) 已知f(x,y)(0,0)的某个邻域内连续,且  \mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle x \to 0 \hfill \atop \scriptstyle y \to 0 \hfill} \frac{f(x,y)-xy}{(x^2+y^2)^2}=1,则
  A.点(0.0)不是f(x,y)的极值点。
  B.点(0.0)f(x,y)的极大值点。
  C.点(0.0)f(x,y)的极小值点。
  D.根据所给条件无法判定点(0.0)是否为f(x,y)的极值点。
  本题考查的知识点为极限基本定理(极限与无穷小的关系)二元函数极值的概念。
  由于很多考生不知道一元函数极值的基本定理可以推广到二元函数极值,因此不知道用
                     \frac{f(x,y)-xy}{(x^2+y^2)^2}=1+\alpha
  其中\alpha(x,y) \Rightarrow (0,0)时为无穷小量。将所给题设条件化为f(x,y)的表达式关系,不会导出f(0,0),不知道用定义判定f(0,0)是否为极值。
  本题难度系数为0.245。

  上面各题都是考查基本概念与基本性质,得分率都很低,失分的关键就是考生没能理解基本概念的实质与基本性质的特征,同样许多解答题和证明题,其求解的关键和重要因素也是基本概念或基本性质。
  为了帮助考生理解基本概念、基本性质,我们从说是研究生入学考试大纲要求的知识点出发,对高等数学、线性代数、概率论与数理统计的基本概念和基本性质进行分析、整理,目的是为考生提供一本侧重概念与性质分析的辅导书,将其定位于简明又有实效、不但能提高考生的复习效率,更有有助于考生提高考试成绩的辅导书。
  本书为高等教育出版社出版的高等数学、线性代数、概率论与数理统计教学辅导丛书之一。这套丛书分别从概念与性质、基本运算、证明三个侧面编写。包括:
  1.《考研数学焦点概念与性质  – 高等数学、线性代数、概率论与数理统计》。徐兵、肖马成、周概容。高等教育出版社。
  2.《2007年考研数学历年真题解析与应试对策》(理工类)。徐兵、肖马成、周概容。高等教育出版社。
  3.《2007年考研数学历年真题解析与应试对策》(经济类)。徐兵、肖马成、周概容。高等教育出版社。
  4.《高等数学证明题500例解析》。徐兵。高等教育出版社。
  5.《线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析》。肖马成、周概容。高等教育出版社。
  从某种意义上说,《焦点概念与性质》是针对概念与性质的专项辅导书;《考研历年真题解析》是提高运算能力的辅导书;证明题解析是提高求解证明题能力的辅导书。可以说这套丛书为大学生学习高等数学、线性代数、概率论与数理统计提供了一套全方位、有特色、有成效的高品质的精品辅导书,是作者几十年教学经验与教学研究的总结与积累。如《2007年考研数学历年真题解析与应试对策》有以下几个特色:
  (1)分析各部分知识的基本问题,归纳基本运算方法,以利于考生理出知识框架。
  (2)在范例解析中,对所选试题指出了考察的知识点,以利于考生明确试题的立意。
  (3)对试题给出了解析,分析了解题思路。对部分试题给出了考生的典型运算错误,指出错误产生的原因,以利于考生防范。
  (4)对部分试题给出了特殊解题技巧,或试题可能的变化形式,或对试题中某些条件的作用进行解析;或指出某些题目在命制时出于考察知识点或难度等因素而有意放宽题设条件等说明,目的是利于考生能深入复习。
  (5)给出了近年来试题的难度系数,以利于考生检查自己对知识的掌握程度。
  《证明题解析》一书有以下特色:
  (1)对所选证明题进行对比、分类、归纳。
  将证明思路相同的题目、证明结论相同的题目、已知条件相同的题目等集中对比、归纳,以引起读者注意证明的基本思路有何变化,希望引导学生从这些数学证明问题的常见方法中,学习发现数学的基本算理,培养训练数学思维方法。本书志在引导学生思考证明题的解题思路,寻找有效的解题途径,如果题目的已知条件不变化,而证明的结论发生变化,证明的思路将发生什么变化?如果已知条件发生变化,而证明的结论不变,证明的思路将发生什么变化?外玩形式相仿的题目,是否证明思路相同?外观形式不同的题目,是否证明的思路也不同?本书希望读者能通过这种训练,有效地提高证明题的求解能力,打牢数学基础。
  (2)选题范围较广,本书参考多种版本习题集、全国硕士研究生入学试题、北京市及全国部分省市大学生数学竞赛题、美国等国外大学生数学竞赛题等。
   本书的高等数学部分,由北京航天航空大学徐兵教授编写;线性代数部分,由南开大学肖马成教授编写;概率论与数理统计部分,由南开大学周概容教授编写。

 

                                                                                                           作者于北京航空航天大学
                                                                                                           2006年7月

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